Inéquation f(x) < k : résolution graphique

Propriété

On se place dans un repère du plan. On considère une fonction \(f\) définie sur \(D_f\) et \(C_f\) sa courbe représentative dans ce repère.

• Les solutions de l'inéquation \(f(x)<k\)  (respectivement \(f(x)>k\)) sont les abscisses des éventuels points de la courbe \(C_f\) situés strictement en dessous (respectivement au-dessus) de la droite d'équation \(y=k\). 
  
• Les solutions de l'inéquation \(f(x)\leq k\)  (respectivement \(f(x)\geq k\)) sont les abscisses des éventuels points de la courbe \(C_f\) situés sur ou en dessous (respectivement au dessus) de la droite d'équation \(y=k\). 
  

Méthode Résolution de l'inéquation \(f(x)\leq k\)

• Repérer le nombre demandé \(k\) sur l'axe des ordonnées.
  
• Tracer la droite \(\Delta\) d'équation \(y=k\). Cette droite passe par le point de coordonnées \((0~;~k)\) et est parallèle à l'axe des abscisses.
  
• Les solutions de l'inéquation \(f(x)\leq k\) sont les abscisses des points de \(C_f\), s'ils existent, situés sur ou en dessous de la droite \(\Delta\).
  

Exemple

On se place dans un repère du plan.
Voici la courbe représentative `C_f` d'une fonction `f` définie sur `[-3;+\infty[`.
Soit `k` un réel de l'intervalle `[-10;10]`.
On veut résoudre graphiquement l'équation `f(x)<k`.
Les solutions de cette équation sont les abscisses des points de `C_f`, s'ils existent, situés strictement en dessous de la droite `\Delta`.
On peut les lire sur l'axe des abscisses : un ou plusieurs intervalles verts apparaissent.

Pour visualiser l'animation, bouger le curseur pour changer la valeur de `k`.

Par exemple, pour \(k=2,9\), les solutions de l'inéquation \(f(x)<2,9\) sont \(S=[~-3~;~-2,05~[~\cup~]~-0,6~;~2,2~[\).
Pour \(k=-1,4\), les solutions de l'inéquation \(f(x)\leq-1,4\) sont \(S=[~-3~;~-2,6~]\).